Algebra [Lecture notes] by Jakob Stix

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Es muß L von endlich vielen Elementen erzeugt sein, da sonst K ⊆ K(x1 ) ⊆ K(x1 , x2 ) ⊆ K(x1 , x2 , x3 ) ⊆ . . undendlich viele Zwischenkörper beschreibt. Angenommen L/K wäre nicht algebraisch. Dann gibt es τ ∈ L, das transzendent über K ist. der Zwischenkörper K(τ ) ist isomorph zu K(X). 10 in K(τ )/K und damit in L/K unendlich viele Zwischenkörper, Widerspruch. Nun haben wir L/K als von endlich vielen algebraischen Elementen erzeugt erkannt. 31. 38. 5. 1. Grundsätzliches zum Auswerten von Polynomen.

21 normal. 31. Sei L/K eine Erweiterung und seien M1 /K und M2 /K normale Zwischenerweiterungen. Dann sind 42 JAKOB STIX (i) M1 M2 , und (ii) M 1 ∩ M2 normale Erweiterungen von K. Beweis. Als normale Erweiterungen von K sind die Mi /K Zerfällungskörper von Polynomen fi ∈ K[T ] für i = 1, 2. (1) Dann ist M = M1 M2 der Zerfällungskörper von f = f1 f2 . Damit ist M/K normal. (2) Sei f ∈ K[T ] ein irreduzibles Polynom, das in M1 ∩ M2 eine Nullstelle hat. Dann zerfällt f in Mi [T ] für beide i = 1, 2 vollständig in Linearfaktoren.

31. 38. 5. 1. Grundsätzliches zum Auswerten von Polynomen. Für jeden Ringhomomorphismus ϕ : R → S gibt es den zugehörigen Homomorphismus von Poynomringen Φ : R[T ] → S[T ] der auf Konstanten ϕ und Φ(T ) = T abbildet, kurz: ϕ wird auf die Koeffizienten angewandt. Als Notation könnte man für f = a0 + a1 T + . . Φ(f ) := ϕf := ϕ(a0 ) + ϕ(a1 )T + . . verwenden, aber oft unterdrücken wir diese Präzision zugunsten der besseren Lesbarkeit. 1. Unter der Auswertung eines Polynoms f = a0 + a1 T + a2 T 2 + .

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